如图，为什么9.3节那个极限不存在？那一点的函数极限,和，那一点有没有定义。这两者没关系吧?

不是很理解方框里的内容，为什么m依赖于n的选取? 5.5(P95页最上面) 以及为什么书里很多地方问了为什么但作者不给出答案。

前几天看了希尔伯特的欧几里得几何公理系统。公理系统分为五组，第一组是结合公理，第二组是顺序公理，第三组是合同公理，第四组是连续公理，第五组是平行公理。我的困惑是顺序公理中的前提：（有的）直线上至少存在三个点，能在结合公理中得到证明吗？

为什么此题的数学归纳法是从1开始而不是从零开始的？数学归纳法原理不是从0开始的吗？从1开始这一步怎么说明是对的 答案中说a+1是正自然数，总感觉有点怪，有点牵强。

如何用数学归纳法原理（n从零开始 m）来证明其变形（归纳基始从k开始）?#数学归纳法#

秒杀网上传的pdf版。 链接: https://pan.baidu.com/s/1EFz4qNqWPS306Xe1the7Cw 提取码: az2s 密码：123

有pdf么大家

是在做习题3.2.1时发现的，用公理3.8推公理3.7（ Axiom 3.7 (Infinity). There exists a set N, whose elements are called natural numbers, as well as an object 0 in N, and an object n++ assigned to every natural number n ∈ N, such that the Peano axioms (Axioms 2.1 - 2.5) hold. 公理3.7（无穷大）存在一个集合N，它的元素被称为自然数。对象0在N中，且由每一个自然数n属于N所指定的满足皮亚诺公理（公理2.1～2.5）的对象n++也在N中 ）时，要应用3.8的条件推出3.7中的集合N的存在性，原文指出，3.7是假设2.6 （ As

证明是PDF档，附带第一卷和第二卷的英文PDF档，链接发在二楼。 由于本人没接受过正规的证明训练，分析这块仅仅自学过卓里奇《数学分析》与菲氏的《微积分学教程》，实分析之类的高等课程没接触过，因此陶老的这本实分析做下来真的有醍醐灌顶的感觉。 从逻辑学的基础知识开始补，到写完第七章的证明花了挺多时间，证明尽量按照陶老的步骤进行模仿，因此大佬们看了可能觉得很啰嗦，但这对我来说却受益匪浅。 有错误纰漏欢迎指正。有少量

中文扫描版，咸鱼搜索就能看到

偶然间搜到本吧，挺有意思。学数学本来就枯燥，很羡慕这里的年轻人们，有充足的时间赶紧好好学，莫等闲。本着教学相长的原则，愿意和大家交流。 目前在看的是第三版的英文版：Analysis I + Analysis II，习题解答会陆续传到自己的博客：christangdt.home.blog 准确情况大致有谱，高人能指出点错误那是最好

今天终于看到第九章了，陶哲轩的定义初看和一般的高等数学和数学分析课本（包括baby rudin)中的定义不太一样，即没有用去心邻域，而是允许了E包含x0（后续作者自己说的），后面作者又举了一个有跳跃间断点的函数如果不考虑去心邻域，那么极限就是undefined。 刚开始我也糊涂了，一会儿说去心和不去心有区别，但是陶神又偏偏在定义中明说了我就不去心，这是要闹哪样？秉着陶神作为IQ碾压我们的人，肯定不会错，于是我又审视了一遍定义，发现

例子第14.2.6 f(n)n→∞为什么等于f呢？我不太能理解因为，f(n)赋值是2n，而f(x)=0，为什么f是f(n)的逐点极限 求解答，可以付费

如何用数学归纳法原理（n从零开始）来证明其变形（归纳基始从k开始）?#数学归纳法#

在看习题2.2.5（强归纳法）的答案时：有这么一句话“使用归纳原理证明命题时，归纳基始不能是空真地成立的” 这句话该怎么理解。在那本书上有解释呀? 附图：

我看书看到证明乘法交换律。产生了疑问。比如3×4按照乘法定义变成4+4+4，然后交换位置，4×3等于3+3+3+3。确实可以归纳证明交换律成立。但是3×4和4×3还是表现出两个不同的加法形式啊？这怎么理解呢？谢谢大神

陶神在这里独辟蹊径，采用了与一般实分析里面不同的定义。其实这里的定义在其他书里面称作sequential compactness，而真正常见的compactness其实是后面的Thm 1.5.8，虽然在metric space中这两个定义可以证明是等价的，但是陶神这里的处理显然不能让我信服，并不是每个与众不同都是好的。比如，陶神前面关于黎曼积分的处理就非常漂亮，与一般数分书籍处理完全不同，这种用piecewise costant function的方法初看没那么直观，但是却和后续勒贝格积分的学习一脉相

命题 3.6.14（基数算术） 从 a 到 f ，6个命题感觉都很难证啊 有人会吗？ 还有后面习题3.6.7中：存在从A到B的单射 f :A→B，证 A的基数小于或等于B的基数，这个看似简单，证明起来也很难

刚开始看，觉得挺有意思，试着证明下这个why 证：根据加法定义，设m是一个自然数，由公理1,0是自然数，0+m:=m是自然数。 假设n为一自然数，n+m也是自然数，由公理2，n++是自然数，那么（n++)+m：=（n+m)++也是自然数， 综上，根据公理2.5，n+m对所有n都是自然数。 不知对否？

https://zm10.sm-tc.cn/?src=l4uLj8XQ0J2TkJjRnIybkdGRmovQnJCTipKR0

1，图中g(m)怎么等于am？ 2，推论8.1.14如何证明

例13.4.2 考虑具有通常度量的集合x=[1,2]u[3,4]，集合[1,2]和[3,4]是X中的开集。两个问题： 1.这里所说的通常度量是不是就是两个数差的绝对值？ 2.为什么[1,2]和[3,4]是X中的开集？

若你是孙悟空则我是唐三藏；若你是孙悟空则我是如来佛祖。 现在前提为空，那么 前面两个命题都成立。然而我仍然只是一个人。这两个命题并不能提供任何信息。既然不能提供任何信息，那么这样的命题又为什么能用来作为一个证明过程中的一步？ 每次我用这个空前提就会纳闷一次。

耶耶，陶哲轩实分析吧！

请问习题2.2.6,principles of backwards induction. 感觉不知道要证明什么.求大神给予指点.

如果y＝x^（1/n）,那么y^n＝x. 如果模仿命题5.5.12的话，那么（y＋ε）和（y－ε）该如何放大或是缩小呢？

如图，吧里的盆友帮我看看我的证明有没有问题

在自学数学分析，被这本书的一个定理难住了，定理14.8.8. 本来证明的提示应该在课后习题里，但是课后习题好像排版有问题，删掉了。 谁能帮助证明一下啊

我常在

回我下，可以看看

引理2.2.10 若自然数a是正的，则恰存在唯一一自然数b,使得b++ = a 这条引理似乎用公里5没法证明啊。

请问如果从已有的集合(N,Z,Q)和ZFC公理体构建起满足这个定义的集合？ 求教了！

原题：证明对于每个实数x，恰有一个整数N，使得 N ≤ x < N+1.

有点迷，这里有人吗？

这个假期开始看了，现在看到偏导数那里，希望能有人一起看书，一起交流。 私聊下交换下QQ。。

明天该看集合论了，前面部分看了三天，感觉好难啊！希望大家平时

怎么证呐

求大神。。怎么证明n维欧几里得空间的真子空间测度为零。

每一道证明都很揪心的说

@马文达smile 吧主求关注。想了很久实在想不来，绝非伸手党。

在写陶哲轩实分析习题时候，写到了有关空集函数的证明，突然觉得有点别扭。我是用空的特称判断来证明之前根空集相关的内容，比如空集是任何一个集合的子集，因为你确实找不到任何一个元素，它属于空集，但不属于任意一个集合。所以任何属于空集的元素都属于任意一个集合是空真的。但我突然想到，反过来想也对啊，任何属于空集的元素也都不属于任意一个集合，全称判断空真，不论肯定否定。这不就产生问题了？到底哪个对呢？ 但后来

陶哲轩实分析好难读，，